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Study/통계학

23. 베타분포(Beta disctribution)

by EDGE-AI 2022. 2. 21.

본 글은 Havard University Statistics 110 강의를 듣고 정리한 내용입니다.

 

베타분포

Beta(a, b), a>0, b>0

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f(x)=cxa1(1x)b1

베타분포는 매우 유연한 확률분포이다.

  1. a=b=1
  2. a=2, b=1
  3. a=b=1/2
  4. a=b=2

이러한 성질에 의하여

  • 사전분포로 사용할 수 있고, 모수는 0과 1 사이의 값을 가진다
  • 이항분포에 "켤레사전분포(conjugate prior)"로 쓰인다.
  • 다른 분포와의 연결성이 좋다.

Conjugate prior for Binomial

X|P ~ Bin(n, p), P ~ Beta(a, b) [prior]

사후분포 P|X?

f(p|X=k)=P(X=k|p)f(p)P(X=k)=(nk)pk(1p)nkcpa1(1p)b1P(X=k)

pa+k1(1p)b+nk1

P(X=k)는 p에 의존적이지 않다.

P|XBeta(a+x,b+nx)

 

Bayes' Billiards

미적분을 쓰지 않고 아래 식 구하기

01(nk)xk(1x)nkdx

n+1개의 당구공이 있을 때, 처음엔 모든 공이 다 하얀색이고, 그중 하나를 분홍색으로 칠한다.

그다음, (0,1) 사이로 각 공을 독립적으로 던진다.

이는 먼저 n+1개의 공을 던진 후, 1개의 공을 색칠하는 것과 같다.

이 때, X= 분홍색으로 칠해진 공 왼쪽에 있는 공의 갯수 라고 한다.

P(X=k)=01P(X=k|p)f(p)dp=01(nk)pk(1p)nkdp=1n+1

f(p) = 1, 균등분포이기 때문

 

 

 

 

출처: https://www.edwith.org/ai152

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