24. 감마분포와 포아송 과정(Gamma distribution and Poisson process)

본 글은 Havard University Statistics 110 강의를 듣고 정리한 내용입니다.

 

감마함수

\[\Gamma (a) = \int_{0}^{\infty}x^ae^{-x}\frac{dx}{x}, a > 0\]

\[\Gamma (n) = (n-1)!, n > 0\]

\[\Gamma (x+1) = x\Gamma(x)\]

\[\Gamma (1/2) = \sqrt{\pi}\]

감마분포

감마분포의 PDF는 감마함수를 감마함수로 나눠주면 구할 수 있다.

\[1 = \int_{0}^{\infty}\frac{1}{\Gamma(a)}x^ae^{-x}\frac{dx}{x}\]

PDF of Gamma Distribution Gamma(a, 1)

\[\frac{1}{\Gamma(a)}x^ae^{-x}\frac{1}{x}\]

PDF of Gamma(a,λ)

Y = X/λ, X ~ Gamma(a, 1) -> 지수함수와 같은 방식으로 변환

\[y = \frac{x}{\lambda}, x = \lambda y, \frac{dx}{dy} = \lambda\]

\[f_Y(y) = f_X(x)\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\Gamma(a)}(\lambda y)^ae^{-\lambda y}\frac{1}{\lambda y}\lambda\]

x>0, y>0

포아송 과정(Poisson Process)

감마분포와 지수분포가 맞닿는 지점

T1 : 첫 이메일을 수신한 시간 = eλ

Nt = t시점까지 도착한 이메일의 수 ~ Pois(λt)

붙어있지 않은 시간 범위에서 수신한 메일의 수는 독립이다.

P(T1 > t)  = P(Nt = 0) = e^-λt

T1 이후의 시점에서 계산하게 되면 처음부터 다시 시작한다(무기역성)

 

도착간격시간은 i.i.d.하며 Expo(λ)의 분포를 따른다.

Tn = (time of nth arrival) = ∑ Xj ~ Gamma(n, λ), Xj = 도착간격시간 are iid Expo(λ)

감마분포와 포아송분포의 관계는 이산확률분포에서 기하분포(첫 번째 성공까지 걸린 시간)와 음이항분포(n번째 성공까지 걸린 시간)와의 관계의 '연속확률분포 버전'으로도 볼 수 있다. 

 

Proof that T = ∑ Xj , Xj iid Expo(1) is Gamma(n, 1)

적률을 활용한 기댓값, 분산

 

 

 

 

 

 

출처: https://www.edwith.org/ai152