본 글은 Havard University Statistics 110 강의를 듣고 정리한 내용입니다.
베타분포와 감마분포의 관계
ex. 은행-우체국 example
은행 대기시간 X∼Gamma(a,λ), 우체국 대기시간 Y∼Gamma(b,λ), X와 Y는 독립
전체 대기시간에 대한 결합분포 T
- X는 i.i.d. exp(a)의 합이고, Y는 i.i.d. exp(b)의 합이다.
- T ~ Gamma(a+b,λ)
W = X / (X+Y), λ=1로 가정
joint PDF
x+y=t, x/x+y=w y/x+y = 1-w
x = tw, y = t(1-w)
정규화상수를 만들어주기 위해 Γ(a)Γ(b)를 분모 분자에 각각 곱해준다.
식의 앞부분은 w에 대한 값이므로 t에대한 적분에서는 상수값이 되고, 뒷부분은 PDF이기 때문에 적분값이 1이 된다.
=> T ~ Gamma(a+b,1), W ! Beta(a,b), T, W는 독립
E(W), W ~ Beta(a, b)
1. LOTUS/defn
2.
E(X/X+Y)E(X+Y) = E(X)가 Gamma-beta 관련된 특별한 상황에서 성립하는 이유?
=> X/X+Y와 X+Y는 이 문제에서 독립이다. => 독립에서 무상관이다. => E(XY)=E(X)E(Y)
순서통계량
X1, ..., Xn i.i.d.임을 가정하였을 때,
X(n) : n번째로 작은 숫자
- n이 홀수일 때, 중간값은 X_(n+1/2)이다.
- 사분위수 또한 구할 수 있다.
특징
- 순서적인 특징을 가지고 있기 때문에 독립이 아니다.(5번째 값은 4번째 값보다 크거나 같다)
- 이산형인 경우에는 같은 값에 대해 순서를 매기기 어렵다.
분포구하기
X1, ..., Xn이 iid이고 PDF f, CDF F를 가질 때, X(j)의 CDF와 PDF?
=P(최소 j개의 Xi가 x보다 작거나 같다)
Xj보다 왼쪽에 있는 경우를 성공으로 보는 이항분포

PDF, CDF, 1-CDF가 모두 포함되어 있다.
Ex. 균등분포와 순서통계량
균등분포의 pdf는 1이된다.
x 와 1-x로 이루어진 식이 베타분포에 관한 식이므로
조건부 기댓값
E(X|A), A : event
두 봉투 역설(Two Envelope Paradox)
한 봉투에는 다른 봉투의 두 배에 해당하는 돈이 들어있다.(두 봉투의 외관은 같다)
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