26. 조건부 기댓값_2(Conditional Expectation Continuted)

본 글은 Havard University Statistics 110 강의를 듣고 정리한 내용입니다.

2 Envolpoe Paradox

한 봉투에는 다른 봉투의 2배에 해당하는 금액이 들어있다.

 

주장1.

E(Y) = E(X) by 대칭성

주장2.

$$E(Y)=E(Y|Y=2X)P(Y=2X)+E(Y|Y=\frac{X}{2})P(Y=\frac{X}{2})$$

$$=E(2X)\frac{1}{2}+E(\frac{X}{2})\frac{1}{2}=\frac{5}{4}E(X)$$

두 봉투에 모두 0이 들어있는 경우는 두 주장 모두 성립

일반적인 양수의 값을 가지는 경우 하나의 주장은 반드시 틀림.(일반적으로 2번 주장이 틀리다)

주장2의 아래식은 일반적으로 옳지 않다. =>

$$=E(2X|Y=2X)\frac{1}{2}+E(\frac{X}{2}|Y=\frac{X}{2})\frac{1}{2}$$

$$E(Y|Y=2X)\ne E(2X)$$

I를 Y=2X의 indicator라고 할 때, X와 I는 종속이다.

 

Ex. 동전 뒤집기 문제(patterns in coin flips)

fair coin을 반복해서 뒤집는다.

HT, HH의 패턴이 얼마나 걸려서 나오는가?, 각각의 기댓값은 얼마인가?

• 대칭성에 의해 HH와 TT, HT와 TH는 같다

HT case

TTTTH HHT

첫 앞면이 나오기 까지의 시간 w1, 첫 앞면이 나온 뒤 뒷면이 나오기 까지의 시간 w2

$$E(W_{HT})=E(w_1)+E(w_2)=2+2=4,w_j-1\sim Geom(\frac{1}{2})$$

HH case

TTTTHT -> 같은 문제를 다시 풀어야함.

$$E(W_{HH})=E(W_{HH}|1stH)\frac{1}{2}+E(W_{HH}|1stT)\frac{1}{2}$$

$$=(2\cdot \frac{1}{2}+(2+E(W_{HH}))\frac{1}{2})\frac{1}{2}+(1+E(W_{HH}))\frac{1}{2}$$

$$\Rightarrow E(W_{HH})=6$$

 

TTHHHT...HHHTT

TH의 경우는 단독으로만 나올 수 있지만,  HH의 경우에는 중첩되어 나올 수 있다.

 

조건부 기댓값의 일반적인 성질

이산형

$$E(Y|X=x)=\sum _y^{}yP(Y=y|X=x)$$

연속형

$$E(Y|X=x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}y{f}_{Y|X}(y|x)dy$$

$$={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}y\frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_X(x)}dy$$

g(x) = E(Y|X=x)라고 할 때, E(Y|X) = g(X)로 정의할 수 있다.

-> E(Y|X)은 확률변수이고, X에 대한 함수이다.

 

ex.

$$X,Y\sim Pois(\lambda )$$

$$E(X+Y|X)=E(X|X)+E(Y|X)=X+E(Y)=X+\lambda$$

∵E(h(X)|X) = h(X)

 

E(X|X+Y) ?

방법1.

T = X+Y(T는 독립인 포아송분포의 합), conditional PMF?

$$P(X=k|T=n)=P(T=n|X=k)\frac{P(X=k)}{P(T=n)}=\frac{P(Y=n-k)P(X=k)}{P(T=n))}$$

$$=\frac{\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^{n-k}}{(n-k)!}\frac{e^{-\lambda }{\lambda }^k}{k!}}{\frac{e^{-2\lambda }(2\lambda {)}^n}{n!}}$$

$$=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\frac{1}{2^n}$$

 

X|T=n ~ Bin(n, 1/2)

E(X|T=n) = n/2 => E(X|T) = T/2

 

방법2.

대칭성

E(X|X+Y) = E(Y|X+Y)

E(X|X+Y) + E(Y|X+Y) = E(X+Y|X+Y) = X+Y

=> E(X|T) = T/2

 

 

출처: https://www.edwith.org/ai152