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Study/통계학

28. 부등식(Inequalities)

by EDGE-AI 2022. 3. 9.

본 글은 Havard University Statistics 110 강의를 듣고 정리한 내용입니다.

 

Ex. 조건부 기댓값 추가 예시

어떤 가게에 방문하는 손님의 수

Xj : j 번째 손님이 소비한 돈, mean of Xj : μ, var of Xj : σ2

N : 특정 기간 방문한 손님의 수(확률변수)

N, X1, ..., Xj는 독립

총 지출의 평균과 분산? X = ∑Xj

E(X)=n=0E(X|N=n)P(N=n)=n=0μnP(N=n)=μE(N)

Adam's Law

E(X)=E(E(X|N))=E(μN)=μE(N)

Eve's Law

Var(X)=E(Var(X|N))+Var(E(X|N))=E(Nσ2)+Var(μN)

=σ2E(N)+μ2Var(N)

부등식

1. 코시-슈바르츠 부등식

E(XY)E(X2)E(Y2)

X와 Y가 무상관이라면, E(XY)=E(X)E(Y)

X와 Y의 평균이 0인 경우, |Corr(X,Y)|=|E(XY)E(X)E(Y)σ(X)σ(Y)|=|E(XY)E(X)2E(Y)2|1

2. 젠슨 부등식

g가 볼록함수(Convex Function, g''(x) ≥ 0)일 때,

E(g(X))g(E(X))

h가 오목함수(Concave Function)일 때, E(h(X))h(E(X))

ex. X가 0보다 클 때, 

E(1X)1E(X)

E(ln(X))ln(E(X))

3. 마르코프 부등식

P(|X|a)E(|X|)a,a>0

ex. 100명의 사람이 있을 때, 

1) 95%의 사람들이 평균 나이보다 어릴 수 있는가? -> YES(한 사람이 매우 나이가 많은 경우)

2) 50%의 사람들이 평균나이의 2배보다 많을 수 있는가? -> NO

 

4. 쳬비셰프 부등식

P(|Xμ|>a)Var(X)a2,(μ=E(X),a>0)

P(|Xμ|>cSD(X))1c2,c>0

P(|Xμ|>a)=P((Xμ)2>a2)E(Xμ)2a2=Var(X)a2

 

 

 

 

출처: https://www.edwith.org/ai152