13. 정규분포 (Normal Distribution)

≤본 글은 Havard University Statistics 110 강의를 듣고 정리한 내용입니다.

균등분포의 일반성

F가 증가하는 CDF라고 할 때,

• X = F^-1(u) ~ F if u ~ Unif(0, 1)
• if X ~ F이면 F(X) ~ Unif(0, 1)

F(x) = P(X ≤ x) -> F(X) = P(X ≤ X) = 1(틀린 방식!!)

F(x) = 1-e^-x, x > 0 -> F(X) = 1-e^-X(맞는 방식)

 

Ex. F(x) = 1-e^-x, x>0 (Exponential distribution with parameter 1, Expo(1)), u ~ Unif(0, 1)

X ~ F 인 분포를 simulate(U∼Unif(0,1)를 simulate한다) 하려면 , F^-1(u) = -ln(1-u) ~ F

 

균등분포의 대칭성

1 - u ~ Unif(0, 1)

균등분포의 선형변환

a+bU∼Unif(a,a+b)

비선형적 변환 시 더 이상 균등분포를 따르지 않는다

확률변수의 독립

확률변수 X1, X2, ..., Xn가 모든 x1, x2, ..., xn에 대하여

P(X​1​​≤x​1​​, ... , X​n​​≤x​n​​) 결합 누적분포함수 = P(X​1​​≤x​1​​) * ... * P(X​n​​≤x​n​​) 주변 누적분포함수 <연속확률변수>

P(X​1​​=x​1​​,...,X​n​​=x​n​​) 결합 확률질량함수 = P(X​1​​=x​1​​) *... *P(X​n​​=x​n​​)    <이산확률변수>

-> 완전한 독립.  쌍으로 독립(pairwise independence)보다 '센' 개념. (쌍으로 독립이라고 완전히 독립은 아니다)

 

Ex. X1, X2 ~ Bern(0.5) i.i.d. , X3 = 1 if X1 = X2, 0 otherwisepairwise indep이지만 indep하지는 않다.X1을 아는것 만으로는 X3에 대한 정보를 알 수 없다. 그러나 X1과 X2를 알고 있으면 X3값은 두 변수에 의해 결정된다.

정규분포

중심극한정리 : 여러개의 독립적이고 동일한 확률변수를 더했을 때, 그 합의 분포가 정규분포를 따라 갈 것이다.

mu = 0, sigma = 1인 경우 표준정규분포

표준정규분포

표준정규분포의 평균 및 분산

표준정규분포의 CDF

Φ(-z) = 1-Φ(z)

출처: https://www.edwith.org/ai152

http://piramvill2.org/?p=3748