11. 포아송분포 (The Poisson distribution)

본 글은 Havard University Statistics 110 강의를 듣고 정리한 내용입니다.

Poisson Distribution ,X ~ Pois(λ)

λ is the "rate" parameter, λ > 0

Valid : ∑PMF = e^-λe^λ = 1 (k로 이루어진 식은 e^λ에 대한 테일러급수)

 

E(X) = e^-λ * ∑ [k=0~∞] k λ^k / k!

 = λe^-λ * ∑ [k=1~∞]  λ^(k-1) / (k-1)! = λe^-λe^λ = λ

 

often used for applications where counting number of "successes" where there are a large number of trials each with small prob of success

1. number of emails in an hour
2. number of chip in chocolate chip cookie
3. number of earthquakes in a year in some region

Poisson Paradign (Pois Approximation, 포아송 근사)

Events A1, A2, ..., An, P(Aj) = pj, n은 매우 큰 수, pj는 매우 작은 확률

events independent or "weakly dependent"

# of Aj's that occur is approx. Pois(λ), λ = ∑pj

 

X ~ Bin(n, p), let n -> ∞, p -> 0, λ = np is held constant(n이 무한대로 가는 속도와 p가 0으로 가는 속도가 같음)

(1 + λ/n)^n = e^λ as n -> ∞

 

Ex. Raindrops

λ : 비가 얼마나 세게 오는가

각 사각형에 빗방울이 떨어지는 사건은 이항분포이지만, 그 사건은 서로 독립이다. 빗방울은 많이 떨어지지만 한 사각형 안에 떨어질 확률은 작기 때문에, 포아송 분포로도 볼 수 있다.

 

Ex. Birthday Problem

n people, find approximate probability that there are 3 people with same birthday

 

n C 3 개의 세 명 그룹에서  I_{ijk}​​는 생일이 같음을 나타내는 지시확률변수, 1<i<j<k<n

E(# triple matches) = n C 3 * 1/365 * 1/365

 

X = # triple matches Approx Pois(λ), λ = n C 3 * 1/365^2

적어도 하나의 3명의 집단이 생일이 같을 확률 P(X≥1) = 1 - P(X=0) ≈ 1- (e^-λ * λ^0) / 0! = 1-e^-λ​eeee

 

 

출처: https://www.edwith.org/ai152