18. 적률생성함수_2 (MGFs Continued)

본 글은 Havard University Statistics 110 강의를 듣고 정리한 내용입니다.

Exponential MGF

X ~ Expo(1), Find MGF

M(t) = E(e^{tx}) = ∫[x=0~∞] e^{tx}e^{-x}dx = ∫e^{-x(1-t)} dx = 1/(1-t)  t < 1

M`(0) = E(X), M``(0) = E(X^2), M```(0) = E(X^3)

|t| < 1, 1/(1-t) -> 기하급수 = ∑t^n = ∑n! * t^n/n! => E(X^n) = n! ∵n! = n차적률

 

Y ~ Expo(λ), Let X = λY ~  Expo(1), so Y^n = X^n/λ^n

E(Y^n) = n!/λ^n

 

Normal MGF

Let Z ~ N(0, 1), find all its moments

홀수인 n에 대하여 대칭성에 의해 E(Z^n) = 0 

E(Z^2n) = (2n)!/(2^n * n!)

• n = 1 ->E(Z^2) = 1
• n = 2 -> E(Z^4) = 3 = 1 * 3
• n = 3 -> E(Z^6) = 15 = 1 * 3 * 5

Poisson MGF

X ~ Pois(λ)

Y ~ Pois(λ), X, Y indep, Find distribution of X + Y

- MGF를 아는 경우 MGF끼리 곱하면 된다.

반례: X랑 Y가 종속일 때, X = Y => X+Y=2X 는 포아송분포가 아니다.

∵ E(2X)=2λ, Var(2X)=4λ 

결합분포(Joint Distribution)

X, Y Bernoulli

확률변수  X, Y의 joint CDF F(x, y) = P(X≤x,Y≤y) 

이산형인 경우의 joint PMF P(X=x,Y=y) 

• P(X=x)이 PMF이기 대문에 joint PMF는 2개 변수 모두를 신경쓰게 된다.
• X와 Y가 독립이라면 P(X=x,Y=y) = P(X=x) * P(Y=y)

주변 분포(Marginal Distribution)

확률변수 X의 marginal CDF:  P(X≤x)  

marginal PMF : P(X=x)

결합누적분포함수(joint CDF)는 주변 누적분포함수(marginal CDF)의 곱으로 이루어진다.

 

Joint PDF(2-dim continuous) f(x,y)

P((X, Y) ∈ B) = ∬f(x, y)dxdy

• B : 특정 영역의 면적
• 확률밀도함수를 적분하면 확률을 구할 수 있음

X와 Y가 서로 독립일 때, F(x,y)=F___X​​(x)F​_____ㅛ_Y(y)

• joint CDF = X와Y의 margin CDF의 곱
• 이산형 : P(X=x, Y=y) = P(X=x)P(Y=y)
• 연속  f(x,y) = f_X(x)f_Y(y), for all (x,y)∈R  

P(X=x) = ∑P(X=x, Y=y) *discrete

f_Y(y) = ∫f_X, Y(x, y)dx * continue

 

Ex.

	Y=0	Y=1
X=0	2/6	1/6	3/6
X=1	2/6	1/6	3/6
	4/6	2/6

P(X=0, Y=0) = 2/6 = P(X=0)P(Y=0) = 2/6(indep)

	Y=0	Y=1
X=0	1/2	0	1/2
X=1	1/4	1/4	1/2
	3/4	1/4

P(X=0, Y=1) = 0 != P(X=0)P(Y=0) = 3/8(dep)

 

Ex. {(x,y):x,y∈[0,1]} 사각형 내에서 균등 분포를 따르는 X, Y (독립인 케이스)

joint PDF (정사각형 안에서는 상수값, 밖에서는 0)

f(x)=c  (0≤x≤1,0≤y≤1) , 0 otherwise

적분값은 면적을 나타내고, c = 1/area = 1

주변 분포를 봤을 때  X,Y는 독립이고 Unif(0, 1)의 분포를 따른다.

 

Ex. {(x,y):x^​2​​+y^​^2​​≤1} 원 내에서 균등분포를 따르는 X, Y (종속인 케이스)

joint PDF = 1/​π (x​2​​+y​2​​≤1)  → 제약식으로 인해 독립이 아님

X = x 라 주어졌을 때,   -√{1-x^2}​​​​​≤y≤√{​1−x^​^^2​​​​​}  

 

 

출처: https://www.edwith.org/ai152