16. 지수분포(Exponential Distribution)

본 글은 Havard University Statistics 110 강의를 듣고 정리한 내용입니다.

Exponential Distribution

rate parameter λ

• PDF = λe^(-λx), x > 0(0 otherwise), 지속적으로 감수하는 함소
  • valid ∫λe^(-λx) = 1
• CDF F(x) = ∫[x=0~x] λe^(-λt)dt = 1-e^(-λx), x>0 

Let Y = λx, then Y ~ Expo(1)

• Expo(1)을 먼저 구한 후 λ를 곱해주면 된다.
• P(Y≤y) = P(X ≤ y/λ) = 1-e^-y

Find E(Y), Var(Y)

E(Y) = ∫ye^(-y) dy (부분적분 공식 이용) = (-ye^-y)|[0~∞] + ∫[0~∞] e^(-y)dy = 0 + 1

•  u = y, dv  = e^-ydy
• du = dy, v = e^-y 

Var(Y) = E(Y^2) - EY^2 = ∫[0~∞] y^2 e^(-y)dy - 1 (마찬가지 부분적분 이용) = 1 

 

∴ X = Y/λ, E(X) = 1/λ, Var(X) = 1/λ^2

Memoryless Property(지수분포의 무기역성)

얼마나 오래 기다리던 간에 처음 시작하는 것과 확률은 같다.

Survival function

E(X|X>a) = a + E(X-a|X>a) = a + 1/λ , 지수분포의 무기역성에 의해 새로운 지수분포가 된다.

 

 

출처: https://www.edwith.org/ai152