20. 다항분포 및 코시분포(Multinomial and Cauchy)

본 글은 Havard University Statistics 110 강의를 듣고 정리한 내용입니다.

 

Ex. Find E|Z1-Z2| with Z1, Z2 ~ N(0, 1) i.i.d. 

Thm. 

\[X \sim N(\mu_1 , \sigma_1 ^2), Y \sim N(\mu_2 , \sigma_2 ^2) , X, Y \rightarrow indep\]

\[X + Y \sim N(\mu_1 + \mu_2 , \sigma_1 ^2 + \sigma_2 ^2)\]

차의 경우 평균은 평균간의 차이지만 분산은 분산간의 합이 된다.

 

Proof

Use MGFs : MGF of X+Y is \[e^{\mu_1 t + \frac{1}{2} \sigma_1 ^2 t^2} * e^{\mu_2 t + \frac{1}{2} \sigma_2 ^2 t^2} = e^{(\mu_1 + \mu_2) t + \frac{1}{2} (\sigma_1 ^2 + \sigma_2 ^2)t^2}\]

 

Note Z1 - Z2 ~ N(0, 2)

E|√2*Z|, Z ~ N(0, 1)

우함수의 정리

다항분포(Multinomial Distribution)

이항분포의 고차원버전

Defn/Story of Mult(n, p), p = (p1, ..., pk) prob vector

X ~ Mult(n, p), X = (X1, ..., Xk), 분류할 수 있는 n개의 물체가 있고, 독립적인 k개의 category가 있을 때, 

Pj = P(category j), Xj = # object in category j

 

Joint PMF P(X1 = n1, ..., Xk = nk) = n! / (n1! n2! ... nk!) p1^n1 p2^n2 ... pk^nk, if n1 + ... + nk = n

주변분포(Marginal Distribution)

Lumping Property(덩어리 성질)

특정 카테고리를 합했을 때 벌어지는 일

X = (X1, ..., X10) ~ Mult(n, (p1, ... , p10)) 이러한 경우에서 수가 작은 변수들을 하나의 cat으로 합치는 과정(category 재정의)

Let Y = (X1, X2, X3+...+X10) then Y ~ Mult(n, (p1, p2, p3+...+p10))

조건부 분포(Conditional Distribution)

Cauchy Interview Question

코시분포(Cauchy Distribution) T = X/Y , X, Y ~ N(0, 1) i.i.d. => Find PDF

단순 계산

전확률의 법칙

 

 

 

출처: https://www.edwith.org/ai152