2-3. 선형독립과 선형종속

본 글은 주재걸교수님의 인공지능을 위한 선형대수 강의를 듣고 정리한 내용입니다.

Linear Independence

• Given a set of vectors v1, ⋯ , v𝑝 ∈ ℝ^𝑛 , check if v𝑗 can be represented as a linear combination of the previous vectors {v1, v2, … , v𝑗−1} for 𝑗 = 1, … , 𝑝, e.g.,
• v𝑗 ∈ Span {v1, v2, … , v𝑗−1} for some 𝑗 = 1, … , 𝑝?
  • If at least one such v𝑗 is found, then {v1, ⋯ , v𝑝} is linearly dependent.
  • If no such v𝑗 is found, then {v1, ⋯ , v𝑝} is linearly independent.
  • 추가된 vector가 span을 늘려주지 못하면 선형 종속적이다.(𝐯3 = 𝑑1v1 + 𝑑2v2)
    • ex) 3차원 공간에 4개의 vector가 주어지면 -> 선형 의존적(무수히 많은 해가 존재)
    • ex) 3차원 공간에 2개의 vector가 주어지면 -> 상황에 따라 다름(벡터간의 선형 의존성에 따름)

• Consider 𝑥1v1 + 𝑥2v2 ⋯ + 𝑥𝑝v𝑝 = 0.
  • 최소한의 solution x = [x1, x2, ..., xp]T = [0,0,...,0]T, called a trivial solution
  • trivial solution이 유일한 solution일 경우, 선형 독립적
  • nontrivial solution이 추가로 존재하는 경우, 선형 종속적
    • 벡터 연산을 통해 원점으로 돌아오는 경우

• Linear Dependence and Linear System Solution
  • vector equation 𝑥1v1 + 𝑥2v2 + 𝑥3v3 = b
    • solution 3v1 + 2v2 + 1v3 = b
    • also 𝐯3 = 2v1 + 3v2, a linearly dependent case
      • 3v1 + 2v2 + 1v3 = 3v1 + 2v2 + 2v1 + 3v2 = 5v1 + 5v2(another solution)

 

 

출처: https://www.edwith.org/ai251