2.5 선형변환

본 글은 주재걸교수님의 인공지능을 위한 선형대수 강의를 듣고 정리한 내용입니다.

 

• A transformation, function, or mapping, 𝑇 maps an input 𝑥 to an output 𝑦
• Mathematical notation: 𝑇: 𝑥 ↦ 𝑦
• Domain(정의역) : Set of all the possible values of x
• Co-domain(공역) : Set of all the possible values of y
• Image(함수의 상) : a mapped output 𝑦, given x
• Range(치역) : Set of all the output values mapped by each 𝑥 in the domain
• 하나의 정의역에 하나의 화살표만 정의

Linear Transformation

A transformation (or mapping) 𝑇 is linear if:

• I. 𝑇(𝑐𝐮 + 𝑑𝐯) = 𝑐𝑇(𝐮) + 𝑑𝑇(𝐯) for all 𝐮, 𝐯 in the domain of 𝑇 and for all scalars 𝑐 and 𝑑
• Simple example: 𝑇: 𝑥 ↦ 𝑦, 𝑇(𝑥) = 𝑦 = 3𝑥
• y = 3x + 2 와 같은 경우는 선형 변환이 성립하지 않음
  
  • 내적을 이용하면 선형 변환 가능

• 𝑇 ∶ ℝ𝑛 → ℝ𝑚 이 선형 변환인 경우, T는 matrix와 vector의 곱으로 나타낼 수 있다. (𝑇 x = 𝐴x for all x ∈ ℝ^n)
• In fact, the 𝑗-th column of 𝐴 ∈ ℝ𝑚×𝑛 is equal to the vector 𝑇 e𝑗 , where e𝑗 is the 𝑗-th column of the identity matrix in ℝ𝑛×𝑛
  • e1 = [1,0,0,...,0]T, e2 = [0,1,0,...,0]T
• the matrix 𝐴 is called the standard matrix of the linear transformation T

 

출처: https://www.edwith.org/ai251