2-4. 부분공간의 기저와 차원

본 글은 주재걸교수님의 인공지능을 위한 선형대수 강의를 듣고 정리한 내용입니다

A subspace 𝐻 is defined as a subset of ℝ𝑛 closed under linear combination

 

ex. 곱셈에 닫혀있다(집합 내 원소간 곱이 집합 내에 존재한다.)

S = {2} -> 2 * 2 = 4 -> S = {2, 4} -> 2 * 4 = 8 => S = {2, 4, 8} ...

∴ S = {2^(n-1) : n = 1, 2, ..., ∞}

 

• subset 중 선형 결합에 닫혀 있는 경우를 subspace라고 부름
• subspace는 항상 재료vector들의 span으로 이루어져 있다

A basis of a subspace 𝐻 is a set of vectors that satisfies both of the following: 

• Fully spans the given subspace 𝐻
• Linearly independent (i.e., no redundancy)
• 기저 벡터(Basis)는 Unique하지 않음(span 내의 어떠한 벡터도 기저 벡터가 될 수 있음)
• 고정된 span 내에서 기저 벡터가 달라짐으로서 달라지는 점은 가중치 뿐이다.(Change of Basis)
• Even though different bases exist for 𝐻, the number of vectors in any basis for 𝐻 will be unique.
• We call this number as the dimension of 𝐻, denoted as dim 𝐻.
• 가장 간단한 기저벡터는 축방향 벡터

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The column space of a matrix 𝐴 is the subspace spanned by the columns of 𝐴.

We call the column space of 𝐴 as Col A

선형 독립이 아닌경우는 종속되는 벡터를 제외하고 column space로 지정해주어도 무방하다.

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The rank of a matrix 𝐴, denoted by rank 𝐴, is the dimension of the column space of 𝐴

• Linear dependent한 feature들이 모두 제외된 dimension이 rank가 된다.

 

출처: https://www.edwith.org/ai251