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16~20강 Review 본 글은 Havard University Statistics 110 강의를 듣고 정리한 내용입니다. Exponential Distribution 지수함수의 PDF \[\lambda e^{-\lambda x}\] 지수함수의 CDF \[F(x) = \int_{0}^{x} \lambda e^{-\lambda t}dt = 1-e^{-\lambda x}\] Y = λX 라고 가정했을 때, Y ~ Expo(1) \[E(Y) = \int ye^{-y}dy = 1\] \[Var(Y) = E(Y^2) - E(Y)^2 = 1\] \[\therefore X = \frac{Y}{\lambda}, E(X) = \frac{1}{\lambda}, Var(X) = \frac{1}{\lambda^2}\] Memoryless Prope.. 2022. 3. 3.
24. 감마분포와 포아송 과정(Gamma distribution and Poisson process) 본 글은 Havard University Statistics 110 강의를 듣고 정리한 내용입니다. 감마함수 \[\Gamma (a) = \int_{0}^{\infty}x^ae^{-x}\frac{dx}{x}, a > 0\] \[\Gamma (n) = (n-1)!, n > 0\] \[\Gamma (x+1) = x\Gamma(x)\] \[\Gamma (1/2) = \sqrt{\pi}\] 감마분포 감마분포의 PDF는 감마함수를 감마함수로 나눠주면 구할 수 있다. \[1 = \int_{0}^{\infty}\frac{1}{\Gamma(a)}x^ae^{-x}\frac{dx}{x}\] PDF of Gamma Distribution Gamma(a, 1) \[\frac{1}{\Gamma(a)}x^ae^{-x}\frac{1.. 2022. 2. 21.
23. 베타분포(Beta disctribution) 본 글은 Havard University Statistics 110 강의를 듣고 정리한 내용입니다. 베타분포 Beta(a, b), a>0, b>0 PDF \[f(x) = cx^{a-1}(1-x)^{b-1}\] 베타분포는 매우 유연한 확률분포이다. a=b=1 a=2, b=1 a=b=1/2 a=b=2 이러한 성질에 의하여 사전분포로 사용할 수 있고, 모수는 0과 1 사이의 값을 가진다 이항분포에 "켤레사전분포(conjugate prior)"로 쓰인다. 다른 분포와의 연결성이 좋다. Conjugate prior for Binomial X|P ~ Bin(n, p), P ~ Beta(a, b) [prior] 사후분포 P|X? \[f(p|X=k) = \frac{P(X=k|p)f(p)}{P(X=k)} = \frac{.. 2022. 2. 21.
22. 변수변환과 합성곱(Transformations and Convolutions) 본 글은 Havard University Statistics 110 강의를 듣고 정리한 내용입니다. 초기하분포의 분산 HyperGeom(w, b, n), p w / (w+b), w+b=N \[Var(\sum_{j=1}^{n}X_j) = Var(X_1) + \cdots + Var(X_n) + 2\sum_{i 2022. 2. 21.
21. 공분산과 상관계수(Covariance and Correlation) 본 글은 Havard University Statistics 110 강의를 듣고 정리한 내용입니다. 공분산(Covariance) Defn X, Y는 같은 표본 공간의 두 확률변수 \[Cov(X, Y) = E((X-EX) (Y-EY) ) = E(XY)-E(X)E(Y)\] Cov(X, X) = Var(X) Cov(X, Y) = Cox(Y, X) Cox(X, c) = 0 if c is const Cov(cX, Y) = c Cov(X, Y) Cov(X, Y+Z) = Cov(X,Y) + Cov(X,Z) 위 두개의 성질을 이중선형성이라 한다. Cov(X+Y, Z+W) = Cov(X,Z) + Cov(X, W) + Cov(Y, Z) + Cov(Y, W) \[Cov(\sum_{i=1}^{m}a_iX_i, \sum_{j=.. 2022. 2. 20.
11~15강 Review 본 글은 Havard University Statistics 110 강의를 듣고 정리한 내용입니다. Poisson Distribution X ~ Pois(λ) \[P(X=k) = \frac{e^{-\lambda}\lambda^k} {k!}\] 포아송 분포는 많은 시도의 횟수를 시행하고, 성공 확룰이 매우 작은 경우에 성공의 수를 count 할 때 많이 사용한다. Poisson Paradign (Pois Approximation, 포아송 근사) event Aj, P(Aj) = pj 에서 n은 매우 큰 수이고 pj는 매우 작은 수라고 할 때, event 끼리 독립이면(혹은 약한 종속성을 가지고 있는 경우) event Aj는 포아송 분포로 근사할 수 있다. Ex. Raindrops, Birthday Probl.. 2022. 2. 16.

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