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30. 카이제곱분포, t분포, 다변량정규분포(Chi-Square, Student-t, Multivariate Normal) 본 글은 Havard University Statistics 110 강의를 듣고 정리한 내용입니다. 카이제곱분포

χ^{2} (n)

V = Z_{1}^{2} + Z_{2}^{2} + \dots + Z_{n}^{2}, Z \overset{i . i . d .}{\sim} N (0, 1) \to V \sim χ^{2} (n)

χ^{2} (1) = G a m m a (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})

두 분포는 같은 분포이다.

χ^{2} (n) = G a m m a (\frac{n}{2}, \frac{1}{2})

두 분포 또한 같은 분포를 나타낸다. Student - t분포

T = \frac{Z}{\sqrt{V / n}}, Z \sim N (0, 1), V \sim χ^{2} (n)

\[\therefore .. 2022. 3. 9.

29. 큰 수의 법칙과 중심극한정리(Law of Large Numbers and Central Limit Theorem) 본 글은 Havard University Statistics 110 강의를 듣고 정리한 내용입니다. 큰 수의 법칙(Law of Large Numbers) X1, X2, ...가 i.i.d.이고, 평균(μ)과 분산(σ2) 이 존재한다. 표본평균

\overset{―}{X_{n}} = \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{j}

Strong 큰 수의 법칙 : n이 무한대로 갈수록, Xn은 μ로 수렴한다.(확률은 1) -> 표본평균이 실제평균에 수렴한다. Ex. Xj ~ Bern(p) 일 때, 확률 1로 아래와같이 수렴한다.

\frac{X_{1} + \dots + X_{n}}{n} \to p

Weak 큰 수의 법칙 : 0보다 큰 c에 대해, n이 무한대로 갈 때, \[P(|\overlin.. 2022. 3. 9.

28. 부등식(Inequalities) 본 글은 Havard University Statistics 110 강의를 듣고 정리한 내용입니다. Ex. 조건부 기댓값 추가 예시 어떤 가게에 방문하는 손님의 수 Xj : j 번째 손님이 소비한 돈, mean of Xj : μ, var of Xj : σ2 N : 특정 기간 방문한 손님의 수(확률변수) N, X1, ..., Xj는 독립 총 지출의 평균과 분산? X = ∑Xj

E (X) = \sum_{n = 0}^{\infty} E (X | N = n) P (N = n) = \sum_{n = 0}^{\infty} μ n P (N = n) = μ E (N)

E (X) = E (E (X | N)) = E (μ N) = μ E (N)

Eve's Law \[Var(X) = E(Var(X|N)) + Var(E(.. 2022. 3. 9.

27. 조건부 기댓값_3(Conditional Expectation given an R.V.) 본 글은 Havard University Statistics 110 강의를 듣고 정리한 내용입니다. Ex.

X N (0, 1), Y = X^{2} - > E (Y | X) = E (X^{2} | X) = X^{2} = Y

E (X | Y) = E (X | X^{2}) = 0

X^2이 a라는 값을 가진다는 것을 관찰하였다면, X = ±√a, +값과 -값이 될 확률을 같다. 이를 평균내면 0이 된다. 기댓값이 0이라는 점이 X와 X^2가 독립임을 의미하지 않는다. Ex. 막대 부러뜨리기 문제 막대를 부러뜨린 후 남은부분에 대해 또 부러뜨린다. X ~ Unif(0, 1), Y|X ~ Unif(0, X) E(Y|X=x) = x/2 -> E(Y|X) = X/2 E(E(Y|X)) = E(X/2) = 1/4 = E(Y) 조건부 기댓값의 일.. 2022. 3. 4.

26. 조건부 기댓값_2(Conditional Expectation Continuted) 본 글은 Havard University Statistics 110 강의를 듣고 정리한 내용입니다. 2 Envolpoe Paradox 한 봉투에는 다른 봉투의 2배에 해당하는 금액이 들어있다. 주장1. E(Y) = E(X) by 대칭성 주장2.

E (Y) = E (Y | Y = 2 X) P (Y = 2 X) + E (Y | Y = \frac{X}{2}) P (Y = \frac{X}{2})

= E (2 X) \frac{1}{2} + E (\frac{X}{2}) \frac{1}{2} = \frac{5}{4} E (X)

두 봉투에 모두 0이 들어있는 경우는 두 주장 모두 성립 일반적인 양수의 값을 가지는 경우 하나의 주장은 반드시 틀림.(일반적으로 2번 주장이 틀리다) 주장2의 아래식은 일반적으로 옳지 않다. => \[=E(2X|Y=2X)\fra.. 2022. 3. 3.

25. 순서통계량과 조건부 기댓값(Order Statistics and Conditional Expectations) 본 글은 Havard University Statistics 110 강의를 듣고 정리한 내용입니다. 베타분포와 감마분포의 관계 ex. 은행-우체국 example 은행 대기시간 X∼Gamma(a,λ), 우체국 대기시간 Y∼Gamma(b,λ), X와 Y는 독립 전체 대기시간에 대한 결합분포 T X는 i.i.d. exp(a)의 합이고, Y는 i.i.d. exp(b)의 합이다. T ~ Gamma(a+b,λ) W = X / (X+Y), λ=1로 가정 joint PDF

f_{T, W} (t, w) = f_{X, Y} (x, y) | \frac{\partial (x, y)}{\partial (t, w)} | = \frac{1}{Γ (a) Γ (b)} x^{a} e^{- x} y^{b} e^{- y} \frac{1}{x y} t

\[|\.. 2022. 3. 3.

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