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30. 카이제곱분포, t분포, 다변량정규분포(Chi-Square, Student-t, Multivariate Normal) 본 글은 Havard University Statistics 110 강의를 듣고 정리한 내용입니다. 카이제곱분포 \[\chi^2(n)\] \[V = Z_1^2 + Z_2^2 + \cdots + Z_n^2, Z \overset{i.i.d.}{\sim}N(0, 1) \rightarrow V \sim \chi^2(n)\] \[\chi^2(1) = Gamma(\frac{1}{2},\frac{1}{2})\] 두 분포는 같은 분포이다. \[\chi^2(n) = Gamma(\frac{n}{2},\frac{1}{2})\] 두 분포 또한 같은 분포를 나타낸다. Student - t분포 \[T = \frac{Z}{\sqrt{V/n}}, Z \sim N(0, 1), V \sim \chi^2(n)\] \[\therefore .. 2022. 3. 9.
29. 큰 수의 법칙과 중심극한정리(Law of Large Numbers and Central Limit Theorem) 본 글은 Havard University Statistics 110 강의를 듣고 정리한 내용입니다. 큰 수의 법칙(Law of Large Numbers) X1, X2, ...가 i.i.d.이고, 평균(μ)과 분산(σ​2) ​이 존재한다. 표본평균 \[\overline{X_n} = \frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}X_j\] Strong 큰 수의 법칙 : n이 무한대로 갈수록, Xn은 μ로 수렴한다.(확률은 1) -> 표본평균이 실제평균에 수렴한다. Ex. Xj ~ Bern(p) 일 때, 확률 1로 아래와같이 수렴한다. \[\frac{X_1+\cdots + X_n}{n} \rightarrow p\] Weak 큰 수의 법칙 : 0보다 큰 c에 대해, n이 무한대로 갈 때, \[P(|\overlin.. 2022. 3. 9.
28. 부등식(Inequalities) 본 글은 Havard University Statistics 110 강의를 듣고 정리한 내용입니다. Ex. 조건부 기댓값 추가 예시 어떤 가게에 방문하는 손님의 수 Xj : j 번째 손님이 소비한 돈, mean of Xj : μ, var of Xj : σ​2​​ N : 특정 기간 방문한 손님의 수(확률변수) N, X1, ..., Xj는 독립 총 지출의 평균과 분산? X = ∑Xj \[E(X) = \sum_{n=0}^{\infty}E(X|N=n)P(N=n) = \sum_{n=0}^{\infty}\mu nP(N=n) = \mu E(N)\] Adam's Law \[E(X) = E(E(X|N)) = E(\mu N) = \mu E(N)\] Eve's Law \[Var(X) = E(Var(X|N)) + Var(E(.. 2022. 3. 9.
27. 조건부 기댓값_3(Conditional Expectation given an R.V.) 본 글은 Havard University Statistics 110 강의를 듣고 정리한 내용입니다. Ex. \[X ~ N(0, 1), Y = X^2-> E(Y|X) = E(X^2|X) = X^2 = Y\] \[E(X|Y) = E(X|X^2) = 0\] X^2이 a라는 값을 가진다는 것을 관찰하였다면, X = ±√a, +값과 -값이 될 확률을 같다. 이를 평균내면 0이 된다. 기댓값이 0이라는 점이 X와 X^2가 독립임을 의미하지 않는다. Ex. 막대 부러뜨리기 문제 막대를 부러뜨린 후 남은부분에 대해 또 부러뜨린다. X ~ Unif(0, 1), Y|X ~ Unif(0, X) E(Y|X=x) = x/2 -> E(Y|X) = X/2 E(E(Y|X)) = E(X/2) = 1/4 = E(Y) 조건부 기댓값의 일.. 2022. 3. 4.
26. 조건부 기댓값_2(Conditional Expectation Continuted) 본 글은 Havard University Statistics 110 강의를 듣고 정리한 내용입니다. 2 Envolpoe Paradox 한 봉투에는 다른 봉투의 2배에 해당하는 금액이 들어있다. 주장1. E(Y) = E(X) by 대칭성 주장2. \[E(Y) = E(Y|Y=2X)P(Y=2X) + E(Y|Y=\frac{X}{2})P(Y=\frac{X}{2})\] \[=E(2X)\frac{1}{2} + E(\frac{X}{2})\frac{1}{2} = \frac{5}{4}E(X)\] 두 봉투에 모두 0이 들어있는 경우는 두 주장 모두 성립 일반적인 양수의 값을 가지는 경우 하나의 주장은 반드시 틀림.(일반적으로 2번 주장이 틀리다) 주장2의 아래식은 일반적으로 옳지 않다. => \[=E(2X|Y=2X)\fra.. 2022. 3. 3.
25. 순서통계량과 조건부 기댓값(Order Statistics and Conditional Expectations) 본 글은 Havard University Statistics 110 강의를 듣고 정리한 내용입니다. 베타분포와 감마분포의 관계 ex. 은행-우체국 example 은행 대기시간 X∼Gamma(a,λ), 우체국 대기시간 Y∼Gamma(b,λ), X와 Y는 독립 전체 대기시간에 대한 결합분포 T X는 i.i.d. exp(a)의 합이고, Y는 i.i.d. exp(b)의 합이다. T ~ Gamma(a+b,λ) W = X / (X+Y), λ=1로 가정 joint PDF \[f_{T,W}(t,w) = f_{X,Y}(x, y)|\frac{\partial (x,y)}{\partial (t, w)}| = \frac{1}{\Gamma(a)\Gamma(b)}x^ae^{-x}y^be^{-y}\frac{1}{xy}t\] \[|\.. 2022. 3. 3.

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