4-2. 영공간과 직교여공간

본 글은 주재걸교수님의 인공지능을 위한 선형대수 강의를 듣고 정리한 내용입니다.

 

Null Space

The null space of a matrix 𝐴 ∈ ℝ𝑚×𝑛 is the set of all solutions of a homogeneous linear system, 𝐴𝐱 = 𝟎. We denote the null space of 𝐴 as Nul 𝐴.

• Ax=0을 만족하는 모든 솔루션.
• 직사각행렬에서도 존재

𝐱 should be orthogonal to every row vector in A

A Matirx가 linearly independent한 경우 nontrivial solution밖에 존재하지 않는다.

• linearly independent 하면 orthogonal 할 가능성이 있다.
  • orthogonal하지 않은 경우는 projection을 통해 orthogonal한 벡터를 찾을 수 있다.
• linearly dependent하면 orthogonal하지 않다. (새로운 vector가 span에 포함)

 

A vector에 대한 Nul A는 (dimension of vector - number of column space(dimension of A^T))개를 찾을 수 있다.

• number of basis vector = dimension of vector
• dimension of vector = dimension of Row A + dimension of Nul A

 

The null space of a matrix 𝐴 ∈ ℝ𝑚×𝑛 , denoted as Nul 𝐴 is a subspace of ℝ𝑛 . In other words, the set of all the solutions of a system 𝐴𝐱 = 𝟎 is a subspace of ℝn

• if x ∈ Nul A, y ∈ Nul A => ax + by ∈ Nul A

 

출처: https://www.edwith.org/ai251