2. 해석을 통한 문제풀이 및 확률의 공리 (Story Proofs, Axioms of Probability)

본 글은 Havard University Statistics 110 강의를 듣고 정리한 내용입니다.

 

Sampling table : choose k object out of n

	Order matters	Order doesn't
Replace	n^k	n+k-1 C k
Don't replace	n*(n-1)*...*(n-k+1)	n C k

Pick k times from set of n objects, where order doesn't matter with replacement

• Extreme cases : k = 0 => n-1 C 0 = 1
• Less extreme cases : k = 1 => n C 1 = n
• Simplest nontrivial examples: n = 2 => k + 1 C k = k + 1 C 1 = k + 1
  • 2개를 복원하여 k번 선택하는 경우의 수는 1번 물체를 0 ~ k번 선택하는 경우의 수와 같다.
• Equiv : k개의 구분 불가능한 입자를 n개의 구분가능한 박스 안에 넣는 경우의 수
  • n = 4, k = 6, [***, ,**,*] -> ***||**|* -> 6(k)개의 *와 3(n-1)개의 |를 배열하는 경우의 수 = 6+3(n-1+k) C 6(k)

 

Story Proof(Proof by interpretation)

• Ex1. n C k = n C n-k
• Ex2. n * (n-1 C k-1) = k * (n C k)
  • n명중 k명을 고르고 그중에서 1명을 대표로 선출하는 방법 = n명중 1명을 대표로 선출하고 n-1명중 k-1명을 고르는 방법
• Ex3. m + n C k = ∑(j = 0 ~ k) (m C j )* (n C k - j)
  • m + n 명중 k 명을 고르는 방법 = m 명중 j 명을 뽑고, n명중 k-j명을 뽑는 방법들의 총 합

 

Non-Naive Definition

Probability sample contents of S and P where S is a sample space, and P(정의역은 S의 부분집합), a function which takes an event A⊆S as input, returns P(A)∈[0, 1] as outputs

1. P(∮) = 0, P(S) = 1
   • 공집합의 사건 발생 -> 일어나지 않는 사건이 발생 => 발생할 수 없음
2. P(U An) = ∑P(An) if A1, A2, ... An are disjoint (non-overlap)
   • both n = 1 ~ ∞

 

 

출처: https://www.edwith.org/ai152