8. 확률변수와 확률분포 (Random Variables and Their Distributions)

본 글은 Havard University Statistics 110 강의를 듣고 정리한 내용입니다.

 

Binomial distribution X ~ Bin(n, p)

n = 정수, p = 0~1 실수

1. Story : X is number of success in n independent Bern(p) trial
2. Sum of indicator rvs(지표 확률 변수) : X = X1 + X2 + ... + Xn, Xj = {1 if jth trial success, 0 otherwise}
   1. X1, ..., Xn i.i.d Bern(p) (independent identically distribution)
3. PMF P(X=k) = nCk p^k q^(n-k)
   1. ∑ nCk p^k q^(n-k) = (p+q)^n = 1 (이항 정리)

R.V.S 

• S = {7,7,5,5,5,3,3,3}
• X = 7 is an event
• X ≤ x is an event
• F(x) = P(X≤x) then F is the CDF(누적분포함수) of X

PMF(확률질량함수) (for discrete r.v.s)

discrete : possible values a1, a2, ... ,an or ∞

• P(X=aj) = pj for all  j 
• condition for PMF pj ≥ 0 , ∑ pj = 1

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X ~ Bin(n, p), Y ~ Bin(m, p) indep Then X + Y ~ Bin(n+m, p)

1. inndediate from story(동전던지기)
   • 같은 정의역을 가져야 더할 수 있다
   • 성공확률이 같아야 한다
2. X = X1 + ... + Xn, Y = Y1 + ... + Yn => X + Y = ∑Xi + ∑Yj
   • sum of n+m i.i.d Bern(p) => Bin(n+m, p)
3. Use PMF, P(X + Y = k) = ∑[j = 0~k] P(X+Y=k|X=j)P(X=j) = ∑P(Y=k-j|X=j) n C j p^j q^(n-j)

위 식은 X와 Y가 독립이라는 조건 때문에 ∑P(Y=k-j) n C j p^j q^(n-j) 로 바꿀 수 있다.

∑ m C (k-j) p^(k-j) q^(n-k+j) n C j p^j q^(n-j)

 = p^j q^(m+n-k) ∑ m C (k-j) n C j (발데르몽드) = (m+n) C k => PMF of Bin(n+m, k)-> 이항정리

 

Ex. Choose 5 card, find distribution of #aces (PMF or CDF). Let X = (#aces)

Find P(X=k)  k ∈ {0, 1, 2, 3, 4}인 경우가 아니면 모두 0, Not Binomial -> 각 시행이 독립이지 않기 때문

4개의 ace중 k개, 나머지 카드중 5-k개

Like the elk problem

•  b개의 검정색 구슬과 w개의 흰색 구슬 중에서 n개의 표본을 무작위로 추출할 때, 표본에 있는 흰색 구슬의 수

PMF

Hypergeometric(초기하분포)

• sampling without replacement
• 이항분포와 크게 차이나지 않는 경우(ex. 100만개 중 2개를 뽑는 경우)는 초기하분포가 이항분포에 근사한다.
• 유효한 확률질량함수인지 확인

연속확률변수와 이산확률변수의 cdf

출처: https://www.edwith.org/ai152

https://m.blog.naver.com/PostView.naver?isHttpsRedirect=true&blogId=mykepzzang&logNo=220836321999 

https://blog.naver.com/mykepzzang/220835517006