7. 도박꾼의 파산 문제와 확률변수 (Gambler's Ruin and Random Variables)

본 글은 Havard University Statistics 110 강의를 듣고 정리한 내용입니다.

Gambler's Ruin

Two gamblers A and B sequence of rounds bet $1, p = P(A wins a certain round), q = 1-p

Find prob that A wins entire game (so B is ruined)

assuming A starts with $i, B starts with %N-i

Random walk

p_i = P(A wins game | A starts at $i) = p*p_i+1 + q*p_i-1, 1 ≤ i ≤ N-j, p_0 = 0. p_N = 1

계차방정식(difference equation) -> 미분 방정식의 이산형태

guessing을 통한 풀이

Guess p_i = x^i

 

p≠q일 경우,

p=q일 경우,

ex. i = N-i, p = 0.49일 때,

• N = 20 => 0.40
• N = 100 => 0.12
• N = 200 => 0.02

Random Variable

A function from sample space S to R

s를 실수 R로 대응시키는 함수

Bernoulli

• 확률변수 x가 베르누이 분포를 따른다는 것은 x가 0과 1 두 값만 가질 수 있다는 것이다.
• Bern(p)
• P(X=1) = p, P(X=0) = 1-p

Binomial(n, p)

• n개의 독립적인 Bern(p)의 성공 횟수의 분포
• Bin(n, p)
• PMF(확률질량함수) P(X=k) = n C k p^k (1-p)^(n-k)
• X ~ Bin(n, p), Y ~ Bin(m, p) indep Then X + Y ~ Bin(n+m, p)

 

출처: https://www.edwith.org/ai152