Study/통계학37 13. 정규분포 (Normal Distribution) ≤본 글은 Havard University Statistics 110 강의를 듣고 정리한 내용입니다. 균등분포의 일반성 F가 증가하는 CDF라고 할 때, X = F^-1(u) ~ F if u ~ Unif(0, 1) if X ~ F이면 F(X) ~ Unif(0, 1) F(x) = P(X ≤ x) -> F(X) = P(X ≤ X) = 1(틀린 방식!!) F(x) = 1-e^-x, x > 0 -> F(X) = 1-e^-X(맞는 방식) Ex. F(x) = 1-e^-x, x>0 (Exponential distribution with parameter 1, Expo(1)), u ~ Unif(0, 1) X ~ F 인 분포를 simulate(U∼Unif(0,1)를 simulate한다) 하려면 , F^-1(u) = -l.. 2022. 1. 28. 12. 이산, 연속, 균등분포 (Discrete vs. Continuous, the Uniform) 본 글은 Havard University Statistics 110 강의를 듣고 정리한 내용입니다. PDF(Probability Density Function, 확률밀도함수) Defn 확률변수 X has PDF f(x) if P(a ≤ X ≤ b) = ∫[a~b] f(x)dx for all a, b. [a = b -> ∫[a~b] f(x)dx = 0] To be valid, f(x) ≥ 0, ∫[-∞~∞]f(x)dx = 1 * Density f(x0) ⋅ ϵ ≈ P( X ∈ (x0−ϵ / 2, x 0+ ϵ / 2)) , 매우 작은 양의 값 epsilon ϵ 길이의 구간에 대한 면적 if X has PDF f, the CDF is F(x) = P(X ≤ x) = ∫[-∞~x]f(t)dt i.. 2022. 1. 27. 11. 포아송분포 (The Poisson distribution) 본 글은 Havard University Statistics 110 강의를 듣고 정리한 내용입니다. Poisson Distribution ,X ~ Pois(λ) λ is the "rate" parameter, λ > 0 Valid : ∑PMF = e^-λe^λ = 1 (k로 이루어진 식은 e^λ에 대한 테일러급수) E(X) = e^-λ * ∑ [k=0~∞] k λ^k / k! = λe^-λ * ∑ [k=1~∞] λ^(k-1) / (k-1)! = λe^-λe^λ = λ often used for applications where counting number of "successes" where there are a large number of trials each with small prob of succ.. 2022. 1. 25. 10. 기댓값 (Expectation Continued) 본 글은 Havard University Statistics 110 강의를 듣고 정리한 내용입니다. Proof Linearity Let T = X + Y, show E(T) = E(X)+E(Y) E(T) = ∑ tP(T=t) ?= ∑ xP(X=x) + ∑ yP(Y=y) P(T=t) = ∑P(T=t|X=x)P(X=x) 평균을 구하는 방법은 전부 더해서 나누는 방법 ∑X(s)P({s}), P({s}) = 조약돌의 무게 = 1/n 그룹으로 묶어서 가중평균을 구하는 방법이 있다. ∑xP(X=x) Proof of linearity(discrete case) ∑(X+Y)(s)P({s}) = ∑(X(s)+Y(s))P({s}) = ∑X(s)P({s}) + ∑Y(s)P({s}) = E(X)+E(Y) E(cx) = cE(.. 2022. 1. 24. 9. 기댓값, 지시확률변수와 선형성 (Expectation, Indicator Random Variables, Linearity) 본 글은 Havard University Statistics 110 강의를 듣고 정리한 내용입니다. CDF : F(x) = P(X ≤ x), x ∈ R Find P(1 P(a 0 as X -> -∞, F(X) -> 1 as x -> ∞ Independent of random variables X, Y are indep r.v.s if P(X≤x, Y≤y) = P(X≤x)P(Y≤y) for all x, y Discrete case: P(X=x, Y=x) = P(X=x)P(Y=y) Averages(Means, Expected va.. 2022. 1. 22. 8. 확률변수와 확률분포 (Random Variables and Their Distributions) 본 글은 Havard University Statistics 110 강의를 듣고 정리한 내용입니다. Binomial distribution X ~ Bin(n, p) n = 정수, p = 0~1 실수 Story : X is number of success in n independent Bern(p) trial Sum of indicator rvs(지표 확률 변수) : X = X1 + X2 + ... + Xn, Xj = {1 if jth trial success, 0 otherwise} X1, ..., Xn i.i.d Bern(p) (independent identically distribution) PMF P(X=k) = nCk p^k q^(n-k) ∑ nCk p^k q^(n-k) = (p+q)^n = 1.. 2022. 1. 20. 이전 1 2 3 4 5 6 7 다음
