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Statistics32

28. 부등식(Inequalities) 본 글은 Havard University Statistics 110 강의를 듣고 정리한 내용입니다. Ex. 조건부 기댓값 추가 예시 어떤 가게에 방문하는 손님의 수 Xj : j 번째 손님이 소비한 돈, mean of Xj : μ, var of Xj : σ​2​​ N : 특정 기간 방문한 손님의 수(확률변수) N, X1, ..., Xj는 독립 총 지출의 평균과 분산? X = ∑Xj \[E(X) = \sum_{n=0}^{\infty}E(X|N=n)P(N=n) = \sum_{n=0}^{\infty}\mu nP(N=n) = \mu E(N)\] Adam's Law \[E(X) = E(E(X|N)) = E(\mu N) = \mu E(N)\] Eve's Law \[Var(X) = E(Var(X|N)) + Var(E(.. 2022. 3. 9.
27. 조건부 기댓값_3(Conditional Expectation given an R.V.) 본 글은 Havard University Statistics 110 강의를 듣고 정리한 내용입니다. Ex. \[X ~ N(0, 1), Y = X^2-> E(Y|X) = E(X^2|X) = X^2 = Y\] \[E(X|Y) = E(X|X^2) = 0\] X^2이 a라는 값을 가진다는 것을 관찰하였다면, X = ±√a, +값과 -값이 될 확률을 같다. 이를 평균내면 0이 된다. 기댓값이 0이라는 점이 X와 X^2가 독립임을 의미하지 않는다. Ex. 막대 부러뜨리기 문제 막대를 부러뜨린 후 남은부분에 대해 또 부러뜨린다. X ~ Unif(0, 1), Y|X ~ Unif(0, X) E(Y|X=x) = x/2 -> E(Y|X) = X/2 E(E(Y|X)) = E(X/2) = 1/4 = E(Y) 조건부 기댓값의 일.. 2022. 3. 4.
26. 조건부 기댓값_2(Conditional Expectation Continuted) 본 글은 Havard University Statistics 110 강의를 듣고 정리한 내용입니다. 2 Envolpoe Paradox 한 봉투에는 다른 봉투의 2배에 해당하는 금액이 들어있다. 주장1. E(Y) = E(X) by 대칭성 주장2. \[E(Y) = E(Y|Y=2X)P(Y=2X) + E(Y|Y=\frac{X}{2})P(Y=\frac{X}{2})\] \[=E(2X)\frac{1}{2} + E(\frac{X}{2})\frac{1}{2} = \frac{5}{4}E(X)\] 두 봉투에 모두 0이 들어있는 경우는 두 주장 모두 성립 일반적인 양수의 값을 가지는 경우 하나의 주장은 반드시 틀림.(일반적으로 2번 주장이 틀리다) 주장2의 아래식은 일반적으로 옳지 않다. => \[=E(2X|Y=2X)\fra.. 2022. 3. 3.
25. 순서통계량과 조건부 기댓값(Order Statistics and Conditional Expectations) 본 글은 Havard University Statistics 110 강의를 듣고 정리한 내용입니다. 베타분포와 감마분포의 관계 ex. 은행-우체국 example 은행 대기시간 X∼Gamma(a,λ), 우체국 대기시간 Y∼Gamma(b,λ), X와 Y는 독립 전체 대기시간에 대한 결합분포 T X는 i.i.d. exp(a)의 합이고, Y는 i.i.d. exp(b)의 합이다. T ~ Gamma(a+b,λ) W = X / (X+Y), λ=1로 가정 joint PDF \[f_{T,W}(t,w) = f_{X,Y}(x, y)|\frac{\partial (x,y)}{\partial (t, w)}| = \frac{1}{\Gamma(a)\Gamma(b)}x^ae^{-x}y^be^{-y}\frac{1}{xy}t\] \[|\.. 2022. 3. 3.
16~20강 Review 본 글은 Havard University Statistics 110 강의를 듣고 정리한 내용입니다. Exponential Distribution 지수함수의 PDF \[\lambda e^{-\lambda x}\] 지수함수의 CDF \[F(x) = \int_{0}^{x} \lambda e^{-\lambda t}dt = 1-e^{-\lambda x}\] Y = λX 라고 가정했을 때, Y ~ Expo(1) \[E(Y) = \int ye^{-y}dy = 1\] \[Var(Y) = E(Y^2) - E(Y)^2 = 1\] \[\therefore X = \frac{Y}{\lambda}, E(X) = \frac{1}{\lambda}, Var(X) = \frac{1}{\lambda^2}\] Memoryless Prope.. 2022. 3. 3.
23. 베타분포(Beta disctribution) 본 글은 Havard University Statistics 110 강의를 듣고 정리한 내용입니다. 베타분포 Beta(a, b), a>0, b>0 PDF \[f(x) = cx^{a-1}(1-x)^{b-1}\] 베타분포는 매우 유연한 확률분포이다. a=b=1 a=2, b=1 a=b=1/2 a=b=2 이러한 성질에 의하여 사전분포로 사용할 수 있고, 모수는 0과 1 사이의 값을 가진다 이항분포에 "켤레사전분포(conjugate prior)"로 쓰인다. 다른 분포와의 연결성이 좋다. Conjugate prior for Binomial X|P ~ Bin(n, p), P ~ Beta(a, b) [prior] 사후분포 P|X? \[f(p|X=k) = \frac{P(X=k|p)f(p)}{P(X=k)} = \frac{.. 2022. 2. 21.

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